Nếu V là một không gian Banach và K là trường nền (hoặc là số thực hay là phức), thì bản thân K là một không gian Banach (sử dụng giá trị tuyệt đối như là chuẩn) và ta có thể định nghĩa không gian đối ngẫu V′ như là V′ = L(V, K), không gian của biến đổi tuyến tính liên tục vào K. Không gian này lại là không gian Banach (với chuẩn của toán tử). Nó có thể được sử dụng để định nghĩa một topo mới trên V: topo yếu.

Chú ý rằng yêu cầu rằng các hàm phải liên tục là quan trọng; nếu V là vô hạn chiều, có những hàm tuyến tính nhưng không liên tục, và do đó không bị chặn, do vậy không gian V* của các hàm tuyến tính vào K chưa phải là một không gian Banach. Không gian V* (có thể được gọi là không gian đối ngẫu đại số để phân biệt với V') cũng tạo ra một topo yếu và mịn hơn topo tạo ra bởi đối ngẫu liên tục bởi vì V′⊆V*.

Có một ánh xạ tự nhiên F từ V đến V′′ (đối ngẫu của đối ngẫu) định nghĩa bởi

với tất cả x trong V và f trong V′. Vì F(x) là một biến đổi từ V′ sang K, nó là một phần tử của V′′. Ánh xạ F: x → F(x) do đó là một biến đổi V → V′′. Như là một hệ quả của định lý Hahn-Banach, ánh xạ này là đơn ánh; nếu nó cũng là toàn ánh, thì không gian Banach V được gọi là có tính phản xạ. Các không gian có tính phản xạ có nhiều tính chất hình học quan trọng. Một không gian là có tính phản xạ nếu và chỉ nếu không gian đối ngẫu của nó có tính phản xạ, đó là trường hợp nếu và chỉ nếu quả cầu đơn vị là compact trong topo yếu.

Ví dụ, lp là có tính phản xạ với 1<p<∞ nhưng l1 và l∞ không có tính phản xạ. Đối ngẫu của lp là lq với p và q liên hệ với nhau bởi công thức (1/p) + (1/q) = 1. Xem không gian L p để thêm chi tiết.